Números e álgebra: fatoração, MMC e MDC, potências, equação do 2º grau e romanos

O que a BNCC pede em cada ano

Os códigos da BNCC dizem a etapa, o ano, o componente e a posição da habilidade na lista do ano: EF07MA01 é a primeira habilidade de matemática do 7º ano do ensino fundamental. A tabela reúne as que correspondem às calculadoras deste guia, ano a ano.

A sequência mostra por que vale estudar na ordem. Quem chega ao 9º ano sem fatorar com segurança trava na equação do 2º grau, porque a habilidade EF09MA09 pede exatamente a fatoração de expressões e os produtos notáveis para resolvê-la.

Primos e fatoração, a base do resto

No 6º ano, a habilidade EF06MA05 pede classificar números em primos e compostos e usar as expressões "é múltiplo de", "é divisor de" e "é fator de". Pede também descobrir, por investigação, os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.

A fatoração junta tudo isso. A calculadora escreve 360 como 2³ × 3² × 5, e a forma é única: não existe outro conjunto de primos cujo produto dê 360. Dos expoentes sai a quantidade de divisores. Soma-se 1 a cada um e multiplica-se, (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1), o que dá 24 divisores, sem precisar listar.

A calculadora lista os 24 e mostra a soma deles, 1.170. Para o aluno, o uso mais útil é o contrário: fatorar no caderno, contar os divisores pela regra e conferir se a lista da tela tem o mesmo tamanho.

MMC e MDC: primeiro sem algoritmo

A habilidade EF07MA01 pede problemas com divisor e múltiplo, incluindo MDC e MMC, "por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos". No 7º ano, o caminho esperado é listar múltiplos e divisores e achar o comum. Com 12 e 18, os múltiplos de 18 são 18, 36 e 54, e 36 é o primeiro que também é múltiplo de 12.

A calculadora faz pelo algoritmo e mostra a fatoração de cada número, o que liga o 7º ano ao 6º. O MDC usa os primos comuns com o menor expoente, e o MMC usa todos os primos com o maior. Para dois números, o produto do MMC pelo MDC é igual ao produto dos números: 36 × 6 = 216 = 12 × 18.

Com três números a regra não vale. Para 12, 18 e 30, a calculadora dá MMC 180 e MDC 6: o produto dos dois é 1.080, e o dos três números, 6.480. Nas frações, o MMC dá o denominador comum: 5/12 + 7/18 vira 15/36 + 14/36, que é 29/36. O MDC simplifica: 42/56 dividido por 14 dá 3/4.

Potências, raízes e notação científica

No 8º ano, a BNCC pede cálculos com potências de expoente inteiro (EF08MA01) e a raiz como potência de expoente fracionário (EF08MA02). Expoente negativo inverte a base: 2⁻³ é 1 ÷ 2³, e a calculadora dá 0,125. Expoente 1/2 é raiz quadrada: 9 elevado a 0,5 dá 3.

Raiz de índice ímpar aceita número negativo, e a raiz cúbica de −8 é −2. Raiz de índice par, não: nenhum número real ao quadrado dá negativo. E os parênteses mudam tudo. Com base −2, o quadrado dá 4, mas −2², sem parênteses, é −4, porque o expoente vale só para o 2.

A raiz quadrada de 2 é irracional, e a calculadora mostra 1,41421356, arredondada em oito casas. No 9º ano, a habilidade EF09MA03 amplia as contas para os números reais, com expoentes fracionários, e a EF09MA04 pede problemas em notação científica.

A notação científica escreve o número como um fator entre 1 e 10 vezes uma potência de 10. A calculadora converte 0,00042 em 4,2 × 10⁻⁴, e 6,5 × 10⁶ em 6.500.000. Pelo Sistema Internacional de Unidades, o separador decimal em português é a vírgula, e número entre −1 e 1 leva sempre o zero antes dela.

A velocidade da luz no vácuo é exatamente 299.792.458 metros por segundo, o valor que define o metro no SI. A calculadora escreve 2,997925 × 10⁸, com a mantissa arredondada em seis casas. Os prefixos do SI são potências de 10 com nome, e é por eles que a notação aparece fora da escola.

Equação do 2º grau: da forma ax² = b à fórmula de Bhaskara

A equação do 2º grau chega em duas etapas. No 8º ano, a EF08MA09 pede só as do tipo ax² = b. Em 2x² − 50 = 0, basta isolar: x² = 25, e x vale 5 ou −5. A calculadora chega ao mesmo par, 5 e −5, com Δ = 400.

No 9º ano, a EF09MA09 liga a equação à fatoração e aos produtos notáveis. x² − 5x + 6 fatora em (x − 2)(x − 3), e o produto só é zero se um dos fatores for zero: x = 2 ou x = 3. Já x² − 4x + 4 é o quadrado perfeito (x − 2)², com uma raiz só.

Quando a fatoração não aparece de cabeça, entra a fórmula que no Brasil se chama de Bhaskara: Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. O sinal de Δ diz o tipo de resposta antes da conta, e a soma e o produto das raízes, −b/a e c/a, conferem o resultado.

Números romanos e o valor posicional

A habilidade EF06MA02 pede reconhecer o sistema decimal e compará-lo a outros sistemas, destacando a base, o valor posicional e a função do zero. O romano é o contraexemplo perfeito. Nele, cada símbolo tem valor fixo, a posição só indica soma ou subtração, e não existe zero.

Por isso a conversão desce do maior valor para o menor. A calculadora escreve 2026 como MMXXVI e 1988, o ano da Constituição, como MCMLXXXVIII. No sentido inverso, MCMXCIV dá 1.994. O maior número da forma clássica é 3.999, MMMCMXCIX.

Fora da escola, os romanos seguem na lei por obrigação. A Lei Complementar 95/1998, que regula a redação das leis, manda representar os incisos por algarismos romanos e identificar assim também seções, capítulos, títulos, livros e partes. Os artigos usam numeração ordinal até o nono e cardinal a partir do décimo.

Lógica: a tabela-verdade e o "se... então"

No ensino médio, a BNCC pede que o aluno justifique conclusões com símbolos matemáticos e conectivos lógicos, além da língua portuguesa, e que formule conjecturas e procure contraexemplos para refutá-las. A tabela-verdade é a ferramenta desse raciocínio: lista todas as combinações de verdadeiro e falso das proposições e o valor da expressão em cada uma.

A implicação p → q só é falsa numa linha, com p verdadeira e q falsa. A calculadora mostra 3 linhas verdadeiras em 4 e classifica a expressão como contingência. Com três variáveis, (p ∧ q) → r tem 8 linhas, e só uma é falsa. O contraexemplo de uma afirmação do tipo "se... então" é exatamente essa linha.

Tautologia é a expressão verdadeira em todas as linhas. A lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), dá tautologia na calculadora, e a contrapositiva também: p → q equivale a ¬q → ¬p. Por isso provar que "se não q, então não p" prova a afirmação original. Já p ∧ ¬p é contradição, falsa em todas as linhas.

O que este guia não cobre

As calculadoras trabalham com números de ponto flutuante e arredondam a exibição, em até oito casas na potência e seis na mantissa. Para trabalho escolar, vale o que o professor pedir de arredondamento, e o caminho escrito conta tanto quanto o resultado.

Ficam de fora a geometria, as medidas e a média escolar, que têm guia próprio, e os demais conteúdos do ensino médio, como funções e números complexos. A fatoração de expressões algébricas também não está na calculadora de fatoração, que trabalha só com números inteiros.