Geometria e notas: área, volume, Pitágoras, escala e média escolar

O que a BNCC pede em cada ano

A geometria da BNCC começa sem fórmula. No 6º ano, a habilidade EF06MA24 pede problemas de área e volume sem uso de fórmulas, e a EF06MA29 pede observar que o perímetro acompanha o lado do quadrado, mas a área não. As expressões de cálculo chegam no 7º ano.

No 9º ano, a EF09MA13 pede demonstrar o teorema de Pitágoras, inclusive pela semelhança de triângulos, e a EF09MA14 pede aplicá-lo. A escala aparece como proporcionalidade, primeiro em mapas no 5º ano (EF05MA12) e depois nas escalas do 9º (EF09MA08).

Área: a unidade vai ao quadrado

Um lote de 12 m por 30 m tem 360 m², e a calculadora converte para 0,036 hectare. Pelo Sistema Internacional, o hectare vale 10⁴ m², ou 10.000 m², e é a unidade usada para áreas agrárias. A habilidade EF08MA19 cita justamente a medida de terrenos.

A EF06MA29 evita um erro comum de orçamento de piso e pintura. Um quadrado de 3 m tem 9 m²; com o lado dobrado para 6 m, tem 36 m², quatro vezes mais. O perímetro passa de 12 m para 24 m: esse sim dobra.

O triângulo de lados 3, 4, 5 tem 6 m² pela fórmula de Heron, que usa só os três lados. O círculo de raio 2 m tem 12,5664 m², e o trapézio de bases 8 e 5 m com altura 4 m, 26 m².

Volume e litros: a unidade vai ao cubo

Uma caixa de 2 m por 1 m por 1,5 m tem 3 m³. Pelo SI, o litro é o decímetro cúbico, e um metro cúbico tem 1.000 litros: a calculadora mostra 3.000 litros. É a conta do bloco retangular da habilidade EF08MA21.

No 9º ano, a EF09MA19 leva o volume aos prismas e cilindros. Um cilindro de raio 0,5 m e altura 1,2 m guarda 0,9425 m³, ou 942,48 litros. O cone de mesma base e mesma altura tem 0,3142 m³, um terço do cilindro.

Como o volume cresce com o cubo, dobrar as três medidas multiplica o volume por oito. Numa caixa d'água, o volume geométrico é o cheio até a borda. A saída fica acima do fundo, e o volume útil é menor do que a conta mostra.

Pitágoras: o terceiro lado do triângulo retângulo

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Com catetos 3 e 4, a calculadora dá hipotenusa 5, porque 9 + 16 = 25. Ela também mostra os ângulos agudos, 36,87° e 53,13°, que somam 90°.

A conta resolve problemas de casa. Uma escada de 5 m com o pé a 1,4 m da parede alcança 4,8 m de altura, porque 25 − 1,96 = 23,04, e a raiz de 23,04 é 4,8. A recíproca também vale: se os lados fecham a conta, o ângulo é reto.

É a recíproca que sustenta o esquadro 3-4-5: marcar 3 e 4 nos dois lados de um canto e conferir se a diagonal dá 5. O teorema só vale com ângulo de 90°. Para outros triângulos, a área sai pela fórmula de Heron, na calculadora de área.

Escala: o denominador manda

Pelo manual de cartografia do IBGE, escala é a relação entre uma distância no desenho e a distância real, escrita como 1 dividido pelo denominador. Em 1:25.000, 1 cm na carta vale 25.000 cm no terreno, e a calculadora dá 250,000 m. Numa planta em 1:100, 5 cm viram 5,000 m.

A escala é tanto maior quanto menor for o denominador: 1:50.000 é maior que 1:100.000 e mostra mais detalhe. O IBGE fixa também a precisão gráfica, o menor traço que dá para desenhar, em 0,2 mm. O que for menor que isso no terreno não cabe em escala, e o mapa usa um símbolo convencional no lugar.

Em 1:50.000, esse limite corresponde a 10 m: a calculadora desenha 10 m reais com 0,2 mm. Para a área, a redução é o quadrado do denominador. Em 1:100, um cômodo de 20 m² ocupa 20 cm² no papel, dez mil vezes menos.

Média escolar: o que a lei fixa e o que fica com a escola

A LDB não fixa nota mínima de aprovação. O art. 24 diz que a avaliação é contínua e cumulativa, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais. A recuperação é obrigatória, de preferência paralela ao período letivo, e o regimento de cada escola a disciplina.

A frequência tem número na lei: 75% das horas letivas. Com a carga mínima do ensino fundamental, 800 horas por ano em pelo menos 200 dias, isso dá 600 horas de presença, ou até 200 horas de falta no ano. Com nota suficiente e frequência abaixo disso, o aluno não é aprovado.

A calculadora faz a média ponderada e a nota que falta na final. Com 5 de peso 2 e 6 de peso 3, a média é 5,6. Para chegar a 7 com uma final de peso 2, seria preciso 10,5: acima de 10, não dá. Com a final de peso 5, bastam 8,4.

A média ponderada é a média estatística da habilidade EF07MA35, com pesos. O peso da prova final, a nota mínima e a regra de arredondamento vêm do regimento, e é por ele que o resultado se confere.

O que este guia não cobre

As calculadoras usam a mesma unidade em todas as medidas e arredondam a exibição em até quatro casas. Não fazem conversão entre unidades diferentes na entrada: base em metros e altura em centímetros dão um número sem sentido.

Ficam de fora a trigonometria além dos ângulos do triângulo retângulo, as projeções cartográficas e as regras de avaliação do ensino superior, que seguem o regimento de cada instituição. Fatoração, potências e equações estão no guia de números e álgebra.